Zur logischen Rekonstruktion der Dekonstruktion

=> Dr. Ulrike Ritter, 21.06.2011

Die viel zu dicken Ankertaue von Formalisierungen hin oder her, versuchen wir formal, eine Differenz zwischen einer prädikatenlogischen und der modallogischen Struktur zu verdeutlichen. Man kann zeigen, dass die modallogische Begrifflichkeit dazu dienen kann, ein prädikatenlogisches Problem zu verdeutlichen, eigentlich sogar, einen inhärenten Widerspruch zu explizieren.

Zur Begrifflichkeit:

Λ = All

V = Exists

M = Property

x = Variable

a,b = Instances

^ = and

v = or

┐= not

=> if...then (= follows)

□ = possible (möglich)

■ = necessary (notwendig)

I. Folgendes darf man unbeschadet prädikatenlogisch annehmen:

1. Λ x (Mx v ┐Mx) [Axiom]

2. Sei a, so dass Ma und b so dass ┐Mb

3. Vx Mx ^ Vx ┐Mx

Wenn V äquivalent ist mit □, folgt aus 3.:

4. □ Mx ^ □ ┐Mx

Soweit, so gut.

II. Jetzt suchen wir Aussagen und Herleitungen, in denen die Äquivalenz problematisch wird.

Wir möchten für empirische Untersuchungen sagen können, dass es zwar einen Gegenstand a/x gibt, der die Eigenschaft M hat, dass dieser Gegenstand a/x diese Eigenschaft aber nicht notwendig hat.

Prädikatenlogisch können wir das nur so ausdrücken, dass es einen Gegenstand a/Mx gibt, der diese Eigenschaft hat, und einen Gegenstand b/┐Mx, der die Eigenschaft M nicht hat. Die Eigenschaft M ist also, so möchten wir es prädikatenlogisch ausdrücken, nicht notwendig.

1. Vx Mx ^ ┐ Λ x Mx

Sei also z.B. a, sodass Ma und b, sodass ┐Mb

Nehmen wir nun an, der Möglichkeitsoperator wäre mit dem Existenzoperator äquivalent (substituierbar).

Aus 1. folgt:

1. Vx Mx ^ Vx ┐Mx

2. Vx Mx ^□┐Mx

Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten, die beide problematisch sind:

Wir instanziieren das x mit Möglichkeitsoperator anders als beim Existenzquantor ebenfalls mit „a“, also

3. Sei a, sodass M a/x.

=> 3. Ma ^ ┐Ma Es folgt also eine Kontradiktion.

Wenn wir für a/x also annehmen, dass Ma wahr ist, folgt:

=> 4. ┐□┐Ma

=> 5. ■ Ma

Diese Folgerung hat den trivialen Hintergrund, dass die Prämisse Ma, die wir in der Herleitung annehmen wollten, in dieser nicht nur wahr, sondern notwendig wahr ist.

Es spielt also keine Rolle, ob wir quasi nach externen Instanziierungsregeln für existenzquantifizierte x nur unterschiedliche Instanzen wählen oder gleiche Instanzen wählen und dann durch Kontraposition und den Ausschluss einer Variante bzw. die Festlegung auf Ma oder ┐Ma die Notwendigkeit der Eigenschaft M für einen so angenommenen Gegenstand innerhalb einer Herleitung annehmen müssen.

III. Prämissen sind in Herleitungen also nicht nur wahr, sondern sowohl prädikatenlogisch oder modallogisch auch notwendig wahr. Die Modallogik macht durch die Offenheit der Instanziierung das Problem nur explizit.

1. Ma => ■Ma (1 wird als Axiom bei Lewis diskutiert (vgl. Anm.), also auch Λ x (Mx => ■Mx)

2. => ■Ma v ■┐Ma (Konstr. Syllogismus aus A1der Aussagenlogik und 1. hier)

3. => Λ x Mx v Λ x ┐Mx (die Reinstanziierung ist prädikatenlogisch korrekt, da 1. für alle x)

4. => ┐(Vx Mx ^ Vx ┐Mx)*

Mit Folgerung 4. geraten wir in Widerspruch zur harmlosen prädikatenlogischen Behauptung, dass wir unterschiedliche Eigenschaftten für a und b annehmen dürfen wie in I.1. Vx Mx ^ Vx ┐Mx

Die Einführung modallogischer Operationen verdeutlicht also nur, dass die Annahme von Prämissen in Herleitungen Kontingenz ausschließt. D.h. einerseits, dass empirische Sachverhalte keine logischen Implikationen haben. Es heißt andererseits, dass logische Sachverhalte keine Instanziierung erlauben, das also aus Λ x ■Mx weder folgt, dass Vx ■Mx noch Vx Mx, denn das hieße Ma und damit auch ┐(Vx Mx ^ Vx ┐Mx) ^ ( V Mx ^ V ┐Mx), was soviel heißt wie Ma und ┐Ma.

Wir können also mit Kant sagen: Begriffe sind leer, Wahrnehmungen sind blind. Was notwendig ist, weiß kein Mensch.

Zur aussagenlogischen Dimension der Diskussion einer Notwendigkeitsimplikationen im Herleitungsbegriff vgl http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal-origins/:

„Following Becker (1930), Lewis considers three more axioms:

Three additional axioms

C10	¬◊¬p⇒¬◊¬¬◊¬p
C11	◊p⇒¬◊¬◊p
C12	p⇒¬◊¬◊p

System S4 adds axiom C10 to the basis of S1. System S5 adds axiom C11, or alternatively C10 and C12, to the basis of S1. Lewis concludes Appendix II by noting that the study of logic is best served by focusing on systems weaker than S5 and not exclusively on S5.

Paradoxes of strict implication similar to those of material implication arise too. Given that strict implication (p⇒q) is defined as ¬◊(p∧¬q), it follows that an impossible proposition implies anything, and that a necessary proposition is implied by anything. Lewis argues that this is as it ought to be. Since impossibility is taken to be logical impossibility, i.e. ultimately a contradiction, Lewis argues that from an impossible proposition like (p∧¬p), both p and ¬p follow. From p we can derive (p∨q), for any proposition q. From ¬p and (p∨q), we can derive q (1932, 250). The argument is controversial since one might think that the principle (p⇒(p∨q)) should not be a theorem of a system aiming to express ordinary implication (see, e.g., Nelson 1930, 447)“

IV. Erläuterungen

1. Sei a/x, sodass Ma

2. => Vx Mx

3. => ┐ Λ x ┐Mx

4. => Λ x Mx (mit 4.)

Das beweist: Vx Mx => Λ x Mx => ┐Vx ┐Mx

ebenso für Vx ┐ Mx

Die andere Richtung Vx Mx <= Λ x Mx folgt jeweils durch Abschwächuung der Allquantoren auf Existenz.

Also 5. Vx Mx <=> Λ x Mx

Nehmen wir also an,

6. (wie I.3): Vx Mx ^ Vx ┐Mx.

7. Mit 5. => Λ x Mx ^ Vx ┐Mx.

7. Sei b/x, sodass ┐Mb.

8. Mb und ┐Mb. (mit Λ x Mx)

9. => ┐(Vx Mx ^ Vx ┐Mx. ) (widerlegte Prämisse 6. bzw. I.3)

V. Weitere Erläuterungen zu Lewis' Axiom C11

C11 entspicht auf aussagenlogischer Ebene dem prädikatenlogischen Argument hier.

1. Sei □p <=> q (wir definieren q)

=> 2. q => ┐□┐q (mit C 11)

=> 3. q => ■ q (mit ┐□┐q <=> ■ q (Definition ■ ?!))

Die Implikation in 3. ist das im hiesigen Text "Rekonstruktion der Dekonstruktion" prädikatenlogisch diskutierte Problem (nicht aussagenlogisch wie bei Lewis et al.)

Der Text findet sich mit kulturtheoretischem Kontext auch auf http://www.overcodingacademy.com